Вряд ли вы сядете посередине пустой скамейки (хотя встречаются и такие, ярко выраженные характеры) или на самый край. Если замерить длины, на которые большинство из нас своим телом разделит скамейку, то обнаружится, что отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всей длины к большему отрезку и равно примерно 1,62

Это число, называемое золотым сечением, входит в тройку самых известных иррациональных чисел, т.е. таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и непериодичны. Два других - это отношение длины окружности к диаметру (Пи) и основание натуральных логарифмов (е).

И хотя золотое сечение и не такое фундаментальное в математике, как два других, оно имеет большое значение для нашего восприятия мира, так как отвечающие золотому сечению пропорции кажутся нам гармоничными.

Пропорциональный мир

Золотое сечение было известно древним грекам. Некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон.

Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих золотое сечение, числом ф. Буква ф (фи) - первая буква в имени великого Фидия, который, по преданию часто использовал золотое сечение в своих скульптурах.

Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в золотом отношении к наименьшему соседнему отрезку.

2

Многие математики, жившие в средние века и в эпоху Возрождения, были настолько увлечены исследованием необычайных свойств числа ф, что это походило на легкое помешательство.

Примером могут служить слова Кеплера: "Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, другое - деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно назвать мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень".

В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом ф, называли "божественной пропорцией" или, следуя Евклиду, "средним и крайним отношением". Термин "золотое селение" вошел в употребление лишь в XIX в.

3

Много замечательных свойств ф, проявляющихся в различных плоских и пространственных фигурах, было собрано в трактате Луки Пачоли, вышедшем в 1509 г. под названием De Divina Proportione ("О божественной пропорции") с иллюстрациями Леонардо да Винчи.

Число ф выражает, например, отношение радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника. Расположив три "золотых" прямоугольника (прямоугольники, стороны которых относятся в "золотом" соотношении) так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), мы увидим, что вершины "золотых" прямоугольников совпадают с 12 вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного додекаэдра.

"Золотая" геометрия

Помимо "золотых прямоугольников
существуют "золотые" треугольники
и пятиугольники

"Золотой" прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от "золотого" прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, "в остатке" мы снова получим "золотой" прямоугольник меньших размеров.

Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие "золотые" прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей большое значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

 Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника BD и первого отрезаемого вертикального АС. Причем диагонали всех последующих уменьшающихся "золотых" прямоугольников лежат на этих диагоналях.

Существует и "золотой" треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении "золотого" сечения, а концы звезды являются "золотыми" треугольниками.

2

Во все времена математики, художники и философы занимались вопросами, связанными с золотым сечением. Однако вновь "открыто" и представлено ученым и художникам золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

В своем объемистом (457 страниц) труде Адольф Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Именно в золотом сечении, по Цейзингу. кроется ключ к пониманию всей морфологии (в том числе строения человеческого тела), искусства, архитектуры и даже музыки.

3

Другой немецкий ученый физиолог Густав Фехнер пытался практически обосновать взгляды Цейзинга. Для этого он измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные основания, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от ф.

Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытываемому предлагалось выбрать "милый его сердцу" прямоугольник из большого набора прямоугольников с различными соотношениями сторон, нарисовать самый "приятный" многоугольник, выбрать место перекладины и т.д. И здесь многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к ф.

Сечения в теории и на практике

Отрезаемые от "золотого" прямоугольника квадраты
располагаются по логарифмической спирали

В статье Теодора Ландшейдта "Космическая функция золотого сечения", опубликованной в журнале Kosmos Международного общества астрологических исследований (ISAR), прослеживается связь таких несопоставимых явлений, как колебания солнечной оси, процент поверхности, пораженной засухой, активность питания термитов, интенсивность действия обезболивающих препаратов, индекс военной активности, вероятности рождения мальчиков - и везде колебания рассматриваемых величин находятся в отношении золотого сечения.

Доктор Теодор Ландшейдт является директором Института исследований циклов солнечной активности в Канаде. Всемирно известный эксперт по вопросам солнечно-земных связей, он был отмечен премией Калифорнийского Института циклов в знак признания выдающихся достижений в этой области исследований.

Особенно примечательно, что он не обошел и фрагменты фрактальных рисунков множества Мандельброта, связав увиденную там логарифмическую спираль с фрактально-хаотическими закономерностями жизни Вселенной.

2

золотое сечение позволяет получать
гармоничные фотоснимки

Интересный пример использования золотого сечения для получения гармоничного фотоснимка приведен на страничке www.photoline.ru/tcomp1.htm, посвященной фотоискусству. Он основан на подмеченном психологами и искусствоведами правиле - расположении основных компонентов кадра в особых точках - зрительных центрах.

Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Человек всегда акцентирует свое внимание на этих точках, независимо от формата кадра или картины.

Немного информатики

Чему равно ф? Напомним определение: большая часть относится к меньшей, как все к большей. Если меньший отрезок принять за единицу, то можно записать пропорцию: (Х+1) / Х = Х / 1, которая сводится к обычному квадратному уравнению X²-X-1 = 0, положительный корень которого равен (1+ V5) / 2.

Это число одновременно выражает длину отрезка Х и значение величины ф. Его десятичное разложение имеет вид 1,61803398... Если за единицу принять больший отрезок, то длина Х будет выражаться величиной, обратной ф, то есть 1/ф.

Любопытно, что 1/ф = 0,61803398... Число ф - единственное положительное число, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы. Также это число тесно связано с метрическими свойствами некоторых правильных многоугольников и многогранников - пятиугольника, десятиугольника, додекаэдра, икосаэдра, - так как оно равно 2*cos (n/5). Подобно числу p, ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер ф:

ф = 1+1/(1+1/(1+1/(1+ ...

ф = V1+ V1+ V1+ ...

2

Число ф иррациональное, не представляемое в виде простой дроби. Однако, если воспользоваться первой из приведенных формул, обрывая нашу дробь на первом, втором, третьем и т.д. знаке плюс, то получим ряд дробей, постепенно, то сверху, то снизу приближающийся к ф:

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ... Думаю, любители математики заметили, что знаменатели дробей образуют последовательность чисел, называемых числами Фибоначчи. Каждое из этих чисел, начиная со второго, равно сумме двух предыдущих. В числителе тоже находятся "предыдущие" числа Фибоначчи. Приведем один из вариантов программы, вычисляющей значение ф по первому алгоритму, сложением убывающих дробей:

Dim Q As Double
Private Sub Form_Load ( )
Open "c:\qqql.dat" For Output
As 1
Q=1
For i = 1 To 24
Q = 1 + 1 / Q
Print #1, i, Q
Next i
End Sub

3

Программа написана на Visual Basic, но этот алгоритм можно реализовать на Pascal, Fortran, Basic - на любом доступном языке. Обратите внимание на то, что переменная Q объявлена как Double, то есть двойной точности. Вся соль алгоритма - в выражении Q=1+1/Q, которое вычисляется столько раз, какой порядковый номер дроби вычисляется; все остальное служит обрамлением. Не правда ли изящно? Результатом работы программы будет таблица, из которой видно, как наш алгоритм, постепенно сужаясь, подбирается к числу ф:

1 2
2 1,5
3 1,66666666666667
4 1,6
5 1,625
:
21 1,6180339901756
22 1,61803398820532
23 1,6180339889579
24 1,61803398867044

Аналогичным образом можно "подбираться" к числу ф и с помощью второй формулы, через квадратные корни:

Dim Q As Double
Private Sub Form _ Load ( )
Open "c:\qeqq.dat" For Output
As 1
Q = 1
For i = 1 To 24
Q = Sqr (l + Q)
Print #1, i, Q
Next I
End Sub

золотое сечение - ключ к пониманию морфологии, искусства, архитектуры и музыки

Результат работы программы:

1 1,4142135623731
2 1,55377397403004
3 1,59805318247862
4 1,61184775412525
5 1,61612120650812
:
21 1,61803398873667
22 1,61803398874581
23 1,61803398874863
24 1,6180339887495

5

Сравнение результатов говорит в пользу второго метода, значения 1,618033 метод квадратных корней достиг на двенадцатом шагу, а метод суммирования дробей - только на шестнадцатом. Раз уж мы так серьезно взялись за вычисления, было бы просто нечестно оставить без внимания трактовку золотого сечения как отношения двух соседних членов ряда Фибоначчи. Тем более что сама тема вычисления чисел Фибоначчи необычайно интересна, так как связана с понятием рекурсии.

Во всех учебниках по программированию рекурсия объясняется на примере вычисления чисел Фибоначчи, а все популярные статьи об этих числах непременно упоминают рекурсию. Не углубляясь в теоретические дебри, скажем лишь, что рекурсия позволяет писать компактные с точки зрения объема исходного кода программы. Но с точки зрения оптимальности работы программы применение рекурсии весьма сомнительно.

Рассмотрим пример (теперь на Turbo Pascal), вычисляющий нужное нам золотое сечение с помощью рекурсии. Вся изюминка - в определении функции FIB: для первого и второго значений параметра она равна единице, а для каждого последующего выдает сумму двух последних значений, причем определяет их, вызывая сама себя.

Program М;
Uses Crt;
Var I : Integer ; С: Char ; F: Text ;
Function Fib (T:Integer): Longint ;
Begin
If (T=1) Or (T=2) Then Fib:=l Else Fib:=Fib(T-l)+Fib(T-2)
End ;
Begin
Assign(F, 'C:\QQQ.Dat') ;
Rewrite(F) ;
CIrScr ;
For I:=l To 24 Do Writeln F,I,' ',Fib(I),' ',Fib(I+l),' ', Fib(I+l)/Fib(I)) ;
Close(F) ;
C:=Readkey;
End.

Рассматривая результат работы программы (он сохраняется в файле QQQ.DAT), мы видим, как отношение двух соседних чисел Фибоначчи постепенно, то сверху, то снизу, приближается к золотому сечению.

1 1 1 1.0000000000E+00
2 1 2 2 .0000000000Е+00
3 2 3 1.5000000000Е+00
4 3 5 1.6666666667Е+00
5 5 8 1.6000000000Е+00
:
21 10946 17711 1.6180339850Е+00
22 17711 28657 1.6180339902Е+00
23 28657 46368 1.6180339882Е+00
24 46368 75025 1.6180339890Е+00

Значение 1,618033 появилось только на 17-м шаге, что "слабее" первых способов, но зато мы получили значения 24 членов ряда Фибоначчи и познакомились с рекурсией. Изящность кодирования идет во вред производительности - слишком много "движений" совершает рекурсивная функция, количество их лавинообразно растет с ростом порядковых номеров чисел Фибоначчи.

А как же выглядит эффективный алгоритм? Задать массив и заполнять его такой же функцией, но без рекурсии, обращаясь к уже посчитанным членам ряда, помещенным в массив. Такая программа работает мгновенно, но уже не столь "красиво".

Магия чисел Фибоначчи

В настоящее время числа Фибоначчи изучаются бизнесменами и экономистами. Замечено, что волны, описывающие колебания котировок ценных бумаг, являются огибающими маленьких волн, те, в свою очередь, еще более мелких, а количество мелких колебаний в периоде более крупного соответствует ряду Фибоначчи. Первым на это обратил внимание Эллиотт.

Ральф Нельсон Эллиотт был инженером. После серьезной болезни в начале 1930-х гг. он занялся анализом биржевых цен и индексов и, в частности, индекса Доу-Джонса. После ряда весьма успешных предсказаний Эллиотт опубликовал в 1939 г. серию статей в журнале Financial World Magazine.

В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются определенным ритмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и приливы, - за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция). Эта схема не зависит от времени, поскольку структура рынка, взятого как единое целое, остается неизменной.

Он писал: "Любой человеческой деятельности присущи три отличительные особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи". Если вы разберетесь с числами Фибоначчи и волнами Эллиотта, то можете разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг (подробности см. на этом сайте.

Интерес к золотому сечению подогревается и периодическими всплесками популярности пирамид. Например, на www.rcom.ru/tvv/Dm/str6.htm среди прочих знамений пирамиды Хеопса можно найти содержащееся в ее пропорциях золотое сечение.

Интересующимся пирамидами и связанными с ними явлениями рекомендую статью энтузиаста пирамид Александра Голода "Пирамиды в пропорциях Золотого Сечения - генератор жизни", расположенную на www.slavaiv.narod.ru.

Самая большая пирамида высотой 44 м построена в конце 1999 г. недалеко от Москвы на 38-м км шоссе Москва - Рига, ее не раз показывали по ТВ, рассказывали о происходящих в ней чудесах. Можно и не говорить, что пропорции пирамиды подчиняются рассмотренным нами соотношениям.

* * *

Мартин Гарднер, ведущий рубрики занимательной математики в журнале Scientific American, получил письмо от своих читателей с сообщением, что в среднем отношение роста человека к высоте пупка равно ф. Надо бы это проверить, причем женщины могут замеряться на каблуках.

Источник